Geometri (eski adı Hendese) uzayı ve uzayda tasarlanabilen şekilleri ve cisimleri inceleyen matematik dalıdır. Bu kelime Yunanca’ dır ve esas anlamı “yerin ölçülmesi’’ demektir.  

Geometri çok eski çağlardan beri vardır ve sırasıyla Thales, Pisagor ve Eflatun bu konu ile ilgilenmişlerdir.  

Esas bilim haline gelmesi gene Yunanlı olan Euclid ( M:Ö 330 – M.Ö 275)sayesinde olmuştur ve EUCLID GEOMETRİSİ OLARAK anılmaya başlamıştır. 

Euclide, gelmiş geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özdeşleştiren kişidir ve “Geometrinin babası” olduğu söylenir.

Atina da Eflatun’un akademisinde onun talebesi olarak matematik öğrenimini tamamlamış ve o dönemin en büyük şehri ve aynı zamanda papirus endüstrisi ile kitap ticaretinin merkezi olan İskenderiye/ Mısır’a gelmiştir.

Burada “Elements/ Öğeler’’ isimli 13 ciltlik bir kitap yazmış, uzay geometrisini yeniden düzenlemiş ve geometrinin sistemli bir ilim haline gelmesine öncülük etmiştir. Euclide, bu kitaplarda kendinden önceki Tales, Pisagor, Eflatun, Aristoteles gibi matematikçi ve geometricilerin çalışmalarını temel olarak almış ve kitapları yıllar boyu önemli bir başvuru kaynağı olarak kullanılmıştır. Matbaanın icadından sonra Elements kitabının 1000 defa baskısı yapılmış ve İncil den sonra dünya üzerinde en çok satan kitap olmuştur. 

Düzlem geometrisi, aritmetik, sayılar kuramı, irrasyonel sayılar ve katı cisimler geometrisi Euclid in kitabında ele aldığı başlıca konulardı.

Her önermeyi daha önceki önermelerden çıkarma yöntemi kendisine atfedilen “geometrinin babası’’ sözünü de haklı kılar.

Euclid bilinen geometrik fikirleri basit tanımlardan başlayıp daha sonra aksiyomlara geçerek organize etmiş, teoremleri belirlemiş ve mantıksal ispatlar için metotlar ortaya koymuştur.

İspat edilen teoremlerden en önemlisi Pisagor teoremidir.

Kitapta yer alan aksiyomlara (aksiyom: ispata ihtiyaç duyulmadan kabul edilen önermelerdir)  teoremlere ve ispatlara dayanan sentez yöntemlerinin Batı düşüncesi üzerinde Kitabı Mukaddesten sonra en etkili araç olduğu söylenir.

Euclid’in ulaştığı sonuçlar her ne kadar diğer matematikçiler tarafından da belirtilmiş olsa da Euclid bu önerilerin anlaşılabilir bir öğretici ve mantıklı bir sisteme nasıl oturtulacağını göstermiştir.

Euclid teoremlerini sunmak üzere “sentetik yaklaşım’’ denilen bir metot kullanmıştır. Bu metodu kullanarak kişi bir dizi mantıklı basamaklardan bilinenden bilinmeyene doğru bir gelişim sağlar.

Elements/Öğeler kitapları günümüzde de orta eğitimde okutulan düzlem geometrisi ile başlar (ilk aksiyom sistemi ve ispatların ilk örneği olarak).

Daha sonra üç boyutlu cisimler geometrisi ile devam eder.

Einstein’ın genel relativite teorisi Euclid geometrisinin fiziksel boşluklar ve düzlemlerin özelliklerini yansıtmak için iyi bir araç olduğunu ancak sağlıklı sonuçlar elde edebilmek için çekim alanının çok güçlü olmaması gerektiğini belirtmiştir.

Einstein “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse kuramsal bilimde bir atılım yapabileceği hayaline kapılmasın’’ der. Euclid’e göre tabiat kanunları tanrının matematiksel bir düşünce şeklidir.

-Albert Einstein ise “Şayet Euclid sizin gençlik hevesinizi harekete geçiremediyse o zaman siz bilimsel bir düşünür değilsiniz’’ demiştir.

-Dostoyevski’nin meşhur kitabı “Karamazov kardeşler’’ de romanın kahramanlarından Ivan şöyle der “Size tanrı yı kabul ettiğimi söylüyorum, ama şunu da belirteyim, şayet Tanrı varsa ve hakikaten bu dünyayı yarattı ise, hepimizin bildiği gib Euclid’in geometrisine göre yaratmıştır.”

İsimleri zamanımıza kadar uzanan matematikçilerin, fizikçilerin astronomi bilimi ile ilgilenenlerın İskenderi ye de ki bu kültür merkezi ile çok yakında ilgileri olmuştur.   Daha sonraları İslam âleminde de birçok matematikçiler yetişti ve geometri üzerinde çalışmalarına devam ettiler ve yeni eserler verdiler.

Euclide Geometrisinin aksiyomları şunlardır:

Aksiyom; İspata ihtiyaç duyulmadan kabul edilen önermelerdir. Aksiyomlardan doğru veya yanlış büyük ölçüde faydalanılır. Doğru aksiyomlar doğru, yanlış aksiyomlar ise yanlış sonuçların meydana gelmesine sebep olurlar şunlardır:

Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler.

1.Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit olur.

2.Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa eşitlik bozulmaz.

3.Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.

4.Bütün parçadan büyüktür.

EUCLIDE’in postülatları şunlardır:

Postülat; Mantıki olarak doğruluğu kabul edilmesine rağmen doğru veya yanlış olduğu tespit edilemeyen önermelerdir.  Geometride postülatların kullanılması bazı problemlerin çözümünde önemlidir.

- İki nokta bir doğru ifade eder (herhangi iki nokta arasına bir düz çizgi çekebilirsiniz, iki nokta arasını birleştiren en kısa yol doğrudur)

-Doğru, doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir

- Bir doğrudan bir doğru parçası elde edilebilir

- Bir daire bir merkez ve yarıçapı ile ifade edilir

-Bir dik açı bütünleyenine eşittir. Bütün dik açılar birbirine eşittir.

- Bir doğru iki aykırı doğru tarafından kesildiğinde meydana gelen iki açının toplamı 180 dereceden küçüktür.

- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir

Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.

Düzlem geometride geometri uzayı iki boyutlu düzlemdir. Euclid düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ve doğrulardır. Teoremler matematik aksiyomlardan yapılan çizimlerden sonuç elde edilmesi şeklindedir. Euclide geometrisinin en iyi bilinen ve ispatlanmış teoremi Pisagor teoremidir.

Euclide geometrisi 19. yüzyılda ortaya çıkan non euclide (euclide dışı) geometriden yukarıda verilmiş meşhur beş adet postülat ile ayrılır.

Bunlara ilaveten Euclid, 94 adet önerme içeren ‘’Data’’ isimli kitabını yazmış,  Küresel Astronomi ile ilgili olan Phaenomena, aynalarla ilgili olarak Caloptrics,   perspektif teorisi ve müzik teorisi üzerinde bir çalışma olan Optics kitabını da yazmıştır. Optik le ilgili çalışmasında Euclid ışın huzmelerini geometrinin bir parçası haline getirmiş ve onlarla sanki düz çizgiymişler gibi uğraşmıştır.

Matematikte euclid geometrisinin çok önemli ve temel bir yeri vardır. Aşağıda uygulama alanı ile ilgili bazı resimli örnekler verilmiştir.

Kelimenin etimolojisinden de anlaşılacağı üzere geometrinin ilk başlardaki kullanılma amacı araştırma yapmak içindi. Euclid geometrisinde en temel ölçümler uzaklık ve açı ölçümleri idi ve her iki ölçümde ispat edilmeden çok evvel   araştırmacı tarafından yapılabiliyordu.

Yukarıda ortadaki resimde portakal örneğinde görüldüğü gibi Euclid geometrisinin uygulama alanlarından biride ambalajlamadır. Örneğin kürelerin en verimli bir şekilde n boyutta nasıl yerleştirileceğini gösterir.

Geometrik optik  mercekler ve aynalar tarafından ışığın nasıl odaklandığını analiz etmekte kullanılır.
 

Geometri ayrıca mimaride ve kağıt sanatı olan origami de (kağıdı sadece katlayarak hiçbir yapıştırma vs gibi işlem kullanmadan şekiller yapma sanatı)  kullanılır.

Bazı klasik geometri problemleri pergel ve gönye ile çözülemez, ama ancak origami ile çözülebilir.

Euclid geometrisinin fiziksel uzayı tarif ettiği iyice anlaşılmıştır. Ancak, Einstein’ın Genel rölativite teorisi Euclid geometrisinin fiziksel uzayın özellikleri için iyi bir yaklaşım olduğunu ancak bunun içinde çekim alanının çok güçlü olmaması gerektiğini belirtir.

GÜNEŞ TUTULMASI DENEYİ

Yukarıdaki resim 1919 yılında bir güneş tutulması sırasında çekilmiştir.  Burada yıldızlar küçük yatay çizgilerle belirlenmiştir.  Yıldızlardan gelen dünyaya doğru gelen ışınlar güneşin çekim gücünden dolayı eğilmektedir.  Bu, Einstein’ın çekim gücü nedeniyle Euclid geometrisinden sapmalar olacağı öngörüsünü doğrulamaktadır.

Einstein’ın genel relativite teorisi uzay zamanın gerçek geometrisinin euclid dışı geometri olduğunu göstermiştir.  Örneğin, üç ışık huzmesinden oluşan bir üçgenin iç açıları toplamı çekim gücünden dolayı 180 derece olmaz.

Günümüzde GPS sistemi yazılımlarında Euclid dışı geometriler kullanılmaktadır.

ABRAHAM LINCOLN ve Euclid ilişkisi

Abraham Lincoln 40 yaşında at sırtında gezgin avukatlık yaparken akıl yürütme de eğitici olması açısından Euclid’ le ilgili çalışma yapmıştır ve onun “Elements/Öğeler’’ isimli kitabını sürekli olarak yanında taşımıştır.

O dönemde ortağı olan avukat yazmış olduğu Lincoln biyografisinde onun gece geç vakitlere kadar yerde gaz lambasının ışığında Euclid geometrisi çalıştığını anlatır.

Dikey çizgilerin her üç geometri de aldıkları şekil.

Euclid dışı  geometride hiperbolic ve eliptik geometrileri sayabiliriz.  Aralarındaki en büyük farklılık paralel çizgilerle ilgili olandır.

İki boyutlu bir düzlemde sonsuza uzanan düz çizgiler düşünün ve bunların her ikiside bir üçüncü çizgi ile dik açı yapsın.  

Euclid geometrisinde çizgiler birbirinden sabit bir  uzaklığı korur ve paralel çizgiler olarak adlandırılırlar.

Halbuki hiperbolik geometride bu çizgiler birbirinden eğrilerek   ayrılırlar  ve  ortak dik açı ile kesişme noktasından uzaklaştıkça aralarındaki mesafe de artar. 

Eliptik geometride ise bu çizgiler  birbirlerine doğru eğilir ve en sonunda kesişirler.

Bunun en basit örneği bir küredir.  Aynen dünyamızda olduğu gibi  birbirine karşıt paralel  veya meridyenler gibi büyük daireler ve noktalar  özdeşleştirilirler.

Aşağıdaki resimde görüldüğü gibi  bir kürenin üzerindeki bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derece değildir.  Kürenin yüzeyi Euclid uzayı değildir, ancak lokalize olarak Euclid geometrisi uygulanır.. Dünya düzlemi üzerindeki küçük bir üçgende üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceye çok yakındır.  Euclid geometrisi bizim  yassı bir düzlem nosyonumuzu model alır.